2009年12月30日星期三

科学松鼠会

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拓扑学简介(四)—— 流形

Wed, 30 Dec 2009 13:20:50 +0800

earth拓扑学简介(一)  拓扑学简介(二)  拓扑学简介(三)

1854年,28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。这个职位是所谓无薪讲师,他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。即使是争取这样一个职位, 也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。1853年他提交了就职论文,其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题,并导致对定积分的第一个严 格数学定义。之后的就职演讲要求候选人准备三个演讲课题,委员会从中挑选一个作为正式演讲题目。黎曼选了两个思虑多时的课题,外加一个还未及考虑的课题 ——关于几何学的基本假设。他几乎确信委员会将挑选前面两个题目之一。然而,委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间 的相互关系问题,从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题无疑是一种巨大的压力,再加上长期的贫穷,一度让黎曼崩溃。但不久他就重新振作起来,用 7 个星期时间准备了关于几何学基本假设的演讲。为了让数学系以外的委员会成员理解他的演讲,黎曼只用了一个公式,并且忽略了所有计算细节。尽管如此,估计在场鲜有人能理解这次演讲的内容。只有高斯为黎曼演讲中蕴含的深邃思想激动不已。

黎曼在演讲中提出了 "弯曲空间" 的概念,并给出怎样研究这些空间的建议。 "弯曲空间" 正是后世拓扑学研究的主要对象。在这些对象上,除了可以运用代数拓扑的工具,还可以运用微积分工具,这就形成了 "微分拓扑学"。

回到黎曼的演讲。黎曼认为,几何学的对象缺乏先验的定义,欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系,而我们却不知道这些关系怎么来的, 甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系。黎曼认为,几何对象应该是一些多度延展的量,体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量,因此欧几里德的公理只能从经验导出,而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是,我们可以考察这些定理成立的可能性,然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何,比如大到不可测的几何,以及小到不可测的几何。接着,黎曼开始了关于延展性,维数,以及将延展性数量化的讨论。他给了这些多度延展的量(几何对象)一个名称,德文写作 mannigfaltigkeit, 英文翻译为 manifold,英文字面意思可以理解为 "多层",中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为 "流形",取自文天祥《正气歌》,"天地有正气,杂然赋流形",而其原始出处为《易经》,"大哉乾元,万物资始,乃统天。云行雨施,品物流形。" 这个翻 译比英文翻译更加符合黎曼的原意,即多样化的形体。

黎曼定义的 "n 维流形" 大概是这个样子的:以其中一个点为基准,则周围每个点的位置都可以用 n 个实数来确定。后人将这种性质总结为:流形的局部与 n 维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质。如果进一步要求在流形的不同局部做微积分的结果可以互相联系起来,成为 "整体微积分",则称此流形为 "微分流形"。一个简单的例子就是二维球面。我们都知道,二维球面上没有整体适用的坐标。经度和纬度是一组很好的坐标,但是在南北两极,经度无从定义。尽管如此,球面的每个局部都可以画在平面上,这就是地图。把各个区域的地图收集在一起,重叠的部分用比例尺协调一下,就得到整个球面。这样,坐标(或地图) 只存在于每个局部,而整个球面其实是地图之间的重叠关系。球面是二维流形,因为球面的局部同平面(二维欧氏空间)的局部具有相同的延展性质。球面的整体结构显然跟平面不同。沿着球面的某个方向往前走,比如,从赤道某点出发往东走,最终会回到出发点。而如果在平面上沿某个方向往前走则永不回到出发点。研究流形的整体结构,以及整体结构与局部结构之间的关系,就是 "拓扑学" 的核心课题。微分流形上可以使用微积分的工具,再辅之以前面介绍过的代数工具(同调群,同伦群),就形成了威力强大的 "微分拓扑学"。这门学问的发展使我们对 5 维以上的单连通微分流形(回忆先前介绍的 "单连通" 概念,即每条曲线可于流形内滑缩为一点)有了比较彻底的认识。

到了80年代,数学家对 4 维单连通 "拓扑流形" 也有了彻底的认识,然而 4 维 "微分流形" 却是无比复杂的对象。比如,直观上最简单的四维流形,四维欧氏空间,也就是所有 (x,y,z,t) 这样的数组组成的空间,有无穷多个"微分结构",通俗一点说,这个流形上有无穷多种 "整体微积分" 可做,而我们通常做的四元微积分只是其中一种。这是 4 维的特殊性,因为其他维数的欧氏空间都跟我们的常识相符。也许 "4" 就是传说中的上帝之数,我们的宇宙就是用 4 个参数来描述的(3个参数表示空间,1 个参数表示时间),我们的时空是一个四维流形。

如果我们忘掉时间,只考察我们生活的空间。它的形态会是怎样?这是黎曼在演讲结尾提出的问题。这个问题到现在还没有答案。这个答案需要物理学家、天文学家、宇宙学家去寻找。宇宙空间会不会是一个三维球面?如果是三维球面,那我们沿着一个方向往前飞行,最终总会回到起点。

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【甲流专题】1918年流感大流行的遗产

Wed, 30 Dec 2009 02:29:51 +0800

——性状相对温和的新型H1N1病毒

原文见   撰文:Christine Soares   翻译:Riset

 爆发于2009年的甲型流感已经步入高潮期,这已是近一百年来第四次席卷全球的流感大流行。这次大流行已经给科学家上了一课,让他们从过去几次大流行吸取了许多宝贵教训——不论这些教训是已经发生的,还是仍有可能发生的。今年夏天,越来越多的证据表明,新发现的甲型H1N1流感并非对于所有人的免疫系统都是一种陌生病毒。一些研究者甚至逐渐开始认为,当前肆虐的疫情乃是持续不断的流感大流行时代的一次突然爆发,而1918年HIN1第一次浮现世间正是这一时代的元年。

 最新型H1N1病毒刚刚出现,它的显著特征是专门攻击年轻人,而老人却未受波及。如今,在美国的确诊病例中,79%是年龄低于30岁的年轻人,仅有2%是年龄大于65岁的老年人。考虑到这种一边倒式的疾病侵袭特征,美国疾病预防与控制中心(CDC)的专家迅即检测了数百份人类血清样本,这些样本的存储时间介于1880年至2000年之间。他们试图寻找彼时的人们遭遇新型H1N1病毒的证据。

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 发表于2009年5月的数据显示,遭遇新病毒时,在年龄大于60岁的老年受试者中,大约有三分之一的人会出现强烈的抗体反应,而在年轻的成年人中,这一数字是6%~9%。作者从理论上推测,老年受试者具有1918 后H1N1人流感病毒的暴露史,使得这些老年人的免疫系统能够识别新型H1N1病毒。

 CDC的研究团队获得了一些血清样本,收集自83名成人以及一些儿童。所有人都接受了1976年H1N1疫苗的注射。当时有4300万美国人接种了这一疫苗。注射过一剂疫苗的成年人中,超过一半的样本对2009年的甲型H1N1病毒表现出了强烈的免疫应答,而年龄小于4岁且接种过疫苗的儿童的血清样本很少能识别出这种新病毒。

 Jackie Katz就职于CDC的流感部门,作为第一作者,上述研究结果已于2009年9月发表。根据他的说法,这种差异是一个重要线索。1976年时年龄在25~60之间的成年人在1957年之前可能就已接触过H1N1流感病毒。自从1957年起,这种病毒已经停止流行20年之久。"我们假定,某人在5岁时,至少会患上一次流感,"Katz解释道。之前与H1N1病毒有过接触史似乎是一个关键因素,可以让人识别出1976年的疫苗毒株并产生强烈的免疫应答,这就如同1976年的疫苗能让人对2009年H1N1病毒产生强烈免疫应答一样。与此相反的是,幼龄儿童没有与H1N1的既往接触史,故而免疫系统无法及时作出反应。

 Katz警告称,血清中较高的抗体水平并不能保证人体能免于感染,不过这些指标却是检测疫苗保护作用的一个良好的指示器,同时还是检验患者是否早前曾暴露于病原体的一个相当准确的信号。对于一些此前采取过免疫措施的人而言,随后注射的疫苗可以发挥加强针的作用。的确,9月发表的试验结果显示,注射一剂针对新型H1N1病毒的疫苗可以产生强有力的免疫应答,甚至在一些年龄大于6岁的儿童身上也是这样,这意味着疫苗毒株可以让广泛的人群产生免疫应答,该结果让卫生官员十分吃惊。

 近年来对季节性流感流行的感染率分析表明,一般而言,随着年龄的增长,针对流感病毒的免疫力也在日积月累地加强。尽管病毒表面蛋白血凝素(Hemagglutinin)和神经氨酸酶(neuraminidase)是疫苗的主要靶点,也是命名流感毒株的依据,但人体免疫系统同样也能够识别病毒的其他部分。虽然随之而来的免疫应答可能无法防止感染,但可以在某种程度上减少疾病的症状,以至于人们都觉察不到自己已经感染了流感。

 美国国家过敏与感染性疾病研究所的病毒专家Jeffery Taubenberger表示:"儿童的确是季节性流感的最易感人群,而后随着年龄的增长,发病率逐渐降低。年龄较大的人群则具有最高的致死率,这是因为他们通常伴有一些基础性疾病,不过在临床上常常观察到,4、50岁的人因流感而就诊的数量要远小于儿童,一个可能的原因是他们在此前的人生历程中慢慢地获得了对流感的广泛免疫力。

 Taubenberge于1997年分离到了1918年大流感的完整毒株。他指出,20世纪的季节性流感毒株,如出现于1957年的H2N2以及在1968年浮现的大流行毒株H3N2都是起源自原始的HI1N1,2009年的H1N1同样如此。实际上,他的结论是,过往90年来,所有的人类流感毒株都是由1918年流感病毒开创的流感王朝的后继成员。

 这样的家族联系可能赋予了当前流行H1N1相对温和的特征。禽流感病毒携带了H5、H7或H9型血凝素,在家禽中广泛传播。这种病毒目前尚未获得在人际间传播的能力。然而一旦病毒获得这种能力的话,将有可能产生一株与1918年H1N1毒株同样恐怖的流感毒株。对于当时的人们而言,后者是一株完全新型的病毒,在世界范围内至少造成了4000万人的死亡。

 一直以来,人们对流感大流行的恐惧以及为之采取的预防措施在今天终于有了回报。正是这种恐惧促成了1976年疫苗接种行动得以实施,然而伴随大规模疫苗接种而来的不良反应使之成为一场惨痛的失败,而且疫苗所针对的病毒并未真正流行起来。虽然当时接种的疫苗毒株与如今流行的H1N1并不完全相同,但那次接种行动在如今却给人们带来了意想不到的回报。

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