2009年11月1日星期日

[宅]宅男娶媳妇和时空曲率-科学松鼠会

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[宅]宅男娶媳妇和时空曲率

Sun, 01 Nov 2009 11:11:00 +0800

曾经有一则报道说,到了2025年,中国将出现3700万光棍。还有一则笑话说,自然情况下生男生女的比例大约是106:100,于是"我"很担心自己不幸成为那个"6",便刻苦学习,终于考上了某道口职业技术学院。考上以后发现该学院男女比例为7:1,不幸的"我"还是成为了那个"6"。这绝不是危言耸听,这是摆在每一个宅男面前的严重危机!作为一名资深宅男,我曾经茶饭无味,夜不能寐,在绝望之中翻开了霍金的《时空的大尺度结构》…你还别说,还真获得了一些关于宅男娶媳妇和时空曲率之间的启示。

标题图片

坐标系、度规、曲率和Minkowski时空

4维的常曲率时空分为3种:Minkowski(闵可夫斯基)时空、de Sitter(德西特)时空和anti-de Sitter(反德西特)时空。它们都是爱因斯坦引力场方程的真空解,分别对应零曲率、正曲率和负曲率的时空。

在这里我需要解释一下这些拗口的名词。为了描述时空的性质,首先我们要先建立起一套坐标系,时空当中的每一点都对应一个坐标。为了计算坐标和坐标之间的距离,我们还得建立起一套对应的距离计算法则,这就是度规。打个比方,我们说某沿海城市往东3公里,往南4公里的海面上形成了一个台风,那么我们会很容易的利用勾股定理计算出台风和城市之间相距5公里。假如我们不使用平面直角坐标系,而是用经纬坐标系的话,就不能再直接用勾股定理计算距离了。比如我们说台风在城市往东3度,往南4度的海面上,就不能再说台风到城市还有5度的距离了。在我们试图描述同一个时空对象的时候,可以根据需要采用不同的坐标系,同时也就意味着采用了不同的度规。在广义相对论中,时空的绝大部分性质并不明显的依赖于坐标系,而是包含在� �默默无闻的度规之中,就好像无论你给货币取的名字是欧元还是美元,关键要看汇率是多少。时空的曲率(全称是Ricci曲率)是一个用来描述该时空某部分弯曲程度的数。要想得到这个数的话,人们需要将对应的度规代入一个能将人折磨得死去活来的复杂算式。如果时空的每个区域的弯曲程度都一样,我们就说它是常曲率时空。著名的爱因斯坦的引力场方程,实际上就是一个关于时空度规和物质分布的偏微分方程组,也就是说时空的弯曲是由度规的改变体现出来的。用那句名言来概括就是:"物质告诉时空怎样弯曲【1】,度规描述时空如何弯曲。"我们今天要比较的这3种时空,其实已经让方程中的物质项等于零,所以说是真空解。爱因斯坦方程中除了时空曲率项,物质项之外,还有一个大名鼎鼎的宇宙学常数项,于是那句名言在这里就 ��成"宇宙学常数告诉时空怎样弯曲。"(请参考《宇宙学中你需要知道的五件事情》)

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物质告诉空间怎样弯曲。实际上时空一起弯曲了,只是本图无法画出来。

如果宇宙学常数为0,曲率也为0,我们得到的就是最熟悉的Minkowski时空,它是爱因斯坦的数学老师闵可夫斯基将欧几里得空间再加上1维的时间所构造出的平坦时空。考虑到地球的引力场很微弱,而且暗物质和暗能量在如此小的尺度上产生的引力场更加微不足道,因此我们可以将自己所生活的时空区域近似的看做是Minkowski时空。如果说理论物理学的众多模型是物理学家的小白鼠的话,那么Minkowski时空就是关了许多小白鼠的最常用的实验室。我们所耳熟能详的相对论性的物理学,小到夸克,大到黑洞,绝大部分都是养在Minkowski时空背景中的小白鼠。

坐标决定缘分的de Sitter时空

如果宇宙学常数和曲率大于0,那我们就得到了de Sitter时空。它是由荷兰物理学家德西特(Willem de Sitter)最先提出的。De Sitter时空的空间部分可以看做一个三维球。这个球有两个北极,两个南极。站在这个球上,朝着左右,前后,上下任意一个方向走,最后都会走回原来出发的地方。(地球的表面是一个二维球,只能朝着左右前后走。)在弯曲的de Sitter时空之中,相对静止的物体之间的距离也会不断发生变化。因此这个三维球的体积,在无穷久以前是无穷大的,然后减速收缩,最后停止收缩,然后又开始加速膨胀。如果生活在由上述度规所描述de Sitter时空的话,我们会发现如果人们宅在家里不动,会变得越来越近,刚刚想打个招呼又变得越来越远,最后谁也看不见谁。

deSitter

这张图的显示de Sitter时空的空间部分的尺度是如何随着时间变化的。
图中的每一点都表示一个二维的球面,也就是说每一个圆环都表示某一时刻对应的三维球。

于是de Sitter时空的因果性就比较奇怪。两个人能否认识不是看缘分,而是看这两个人坐在哪儿。在Minkowski时空中,只要两个人老不死,总有办法联系上,从而互相认识。在de Sitter时空中就很难说了。如果宅男住在其中一个北极,适合宅男的mm住在其中一个南极,那么他们俩永远也联系不上。度规告诉我们,在de Sitter时空当中,两点之间的空间距离是随着三维球的收缩膨胀而变化的。假设在无数年之前,住在北极的宅男想给南极mm打个电话,拨号之后电信号开始以光速传播。由于三维球刚开始是无穷大的,信号是很难跑到南极的。幸好这时候空间在减速收缩,结果在t=0的时刻,信号刚好跑到赤道。但是这时候三维球又开始膨胀,结果信号越追越困难,永远也跑不到南极了。如果宅男比较闷骚,纠结了很久终于在t=0的时候决定给南极mm打电话,那么经过无穷长的时间,信号却连赤道都到不了。所以在de Sitter时空中娶媳妇是一件很困难的事情。一定要主动,千万不能闷骚,否则有些人你永远都不会认识,有些事情你永远都不会知道,这叫做event horizon(事件视界)。

由于de Sitter时空中大家一开始就相距无穷远,所以你的眼中一开始是一片漆黑,过一段时间你才能看到你的键盘,你的显示器,然后是更远处的窗外。这种现象叫做particle horizon(粒子视界)。对Minkowski时空当中的宅男而言,这两个视界并不存在。这就表明de Sitter时空和Minkowski时空的因果性的不同。

虽然de Sitter时空当中养的小白鼠不多,但都是浓缩的都是精华。比如在宇宙的暴胀理论当中,早期受真空能驱动而加速膨胀的宇宙正是de Sitter时空的一部分;而现如今的宇宙又处于宇宙学常数主导的时期,有物理学理论指出,我们宇宙的未来也许是一个寒冷空寂的de Sitter时空。宅男们,还等什么呢?

Anti-de Sitter时空和AdS/CFT

如果时空的曲率和宇宙学常数小于零,我们就得到anti-de Sitter时空。这个anti就是说它专门跟de Sitter时空唱反调。你曲率是正的,我就是负的;你是闭合的,我是开放的;你一开始大家距离无穷远,我一开始大家全挤一块儿;你先收缩后膨胀,我先膨胀后收缩。这样的好处是再闷骚的宅男都有可能娶到媳妇,因为坐在家里吃了睡睡了吃,过一段时间之后大家自然就挤在一起了,互相也就全认识了。没有事件视界,也没有粒子视界,空间的尺度一会儿膨胀一会儿收缩,循环往复,宅男们娶媳妇娶的欢天喜地。物理学家也没闲着,在anti-de Sitter时空当中养着的众多小白鼠中,有一只叫做AdS/CFT的小白鼠脱颖而出,成为万众瞩目的焦点。这个小白鼠能够帮助物理学家解决弦论,共形量子场论,黑洞信息等一系列理论物理前沿课题的一些问题。著名物理学家费曼讲过一个笑话,说他打算出席一个有广义相对论学家参加的会议,下了飞机后发现弄丢了会议地址,但最后还是顺利抵达。原来费曼拉住一个出租车司机问:"刚才有没有一群举止怪异,嘴巴里不断喊着'姬谬拗'的人?带我去他们去的地方。"这个"姬谬拗"正是度规的物理学符号的发音,而现如今,这群举止怪异的人嘴巴里仍然念念有词,只不过换成了更加拗口的"AdS/CFT"啦!

curvature1

curvature2 curvature3

空间的曲率只是时空曲率的一部分,这组图片表现了三种不同曲率的空间。

[1].原话出自物理学家惠勒(John Wheeler)之口:"Matter tells space how to curve, and space tells matter how to move."

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